№7. Найти TK

В прямоугольном треугольнике EKN, KT - высота, опущенная на гипотенузу EN. Дано EN = 50 и EK : KN = 3 : 4. Пусть EK = 3x, KN = 4x. По теореме Пифагора: $$EK^2 + KN^2 = EN^2$$, $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$$, $$9x^2 + 16x^2 = 2500$$, $$25x^2 = 2500$$, $$x^2 = 100$$, $$x = 10$$. Тогда EK = 30, KN = 40. По теореме о пропорциональных отрезках: $$EK^2 = ET \cdot EN$$, $$30^2 = ET \cdot 50$$, $$900 = ET \cdot 50$$, $$ET = \frac{900}{50} = 18$$. Также, $$KN^2 = TN \cdot EN$$, $$40^2 = TN \cdot 50$$, $$1600 = TN \cdot 50$$, $$TN = \frac{1600}{50} = 32$$. По теореме о высоте прямоугольного треугольника: $$KT^2 = ET \cdot TN$$, $$KT^2 = 18 \cdot 32 = 576$$, $$KT = \sqrt{576} = 24$$. **Ответ: TK = 24**