№3 В треугольнике АВС АС=ВС, высота СН равна 19,2, cosA=7/25. Найдите АС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, где угол H прямой. Из определения косинуса угла A имеем $$cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{7}{25}$$.

Найдём AH: $$AC = BC$$, значит треугольник ABC равнобедренный. CH – высота, а следовательно, и медиана. Тогда $$AH = \frac{1}{2} AB$$.

Выразим AC через AH: $$AC = \frac{25}{7} AH$$.

Из прямоугольного треугольника ACH по теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$.

Подставим известное значение CH и выразим AC через AH:

$$(\frac{25}{7} AH)^2 = AH^2 + (19.2)^2$$

$$\frac{625}{49} AH^2 - AH^2 = (19.2)^2$$

$$\frac{625 - 49}{49} AH^2 = (19.2)^2$$

$$\frac{576}{49} AH^2 = (19.2)^2$$

$$AH^2 = \frac{(19.2)^2 \cdot 49}{576}$$

$$AH = \frac{19.2 \cdot 7}{24} = \frac{19.2}{24} \cdot 7 = 0.8 \cdot 7 = 5.6$$

Теперь найдём AC:

$$AC = \frac{25}{7} AH = \frac{25}{7} \cdot 5.6 = 25 \cdot 0.8 = 20$$

Ответ: 20