0.91 На координатной плоскости постройте треугольник ABC с вершинами A(-3; -6), B(2; -4) и C(-3; 4). Используя рисунок, найдите координаты точек, в которых стороны треугольника пересекают оси координат.

Решение:

Для решения этого задания необходимо построить треугольник в тетради на координатной плоскости, используя заданные координаты вершин.

1. Построение треугольника ABC:
• Отметьте точки A(-3; -6), B(2; -4), C(-3; 4).
• Соедините точки, чтобы получить треугольник.
2. Пересечение сторон с осями координат:
• Сторона AC:
• Точки A(-3; -6) и C(-3; 4) имеют одинаковую абсциссу \( x = -3 \). Это вертикальный отрезок, параллельный оси Y.
• Он пересекает ось X в точке, где \( y = 0 \). На этом отрезке \( y \) меняется от -6 до 4. Значит, он пересекает ось X в точке, где \( y = 0 \). Но так как \( x \) всегда -3, этот отрезок не пересекает ось X.
• Он пересекает ось Y в точке, где \( x = 0 \). Так как \( x \) всегда -3, этот отрезок не пересекает ось Y.
• *Ошибка в рассуждении: отрезок AC находится на прямой x = -3. Он пересекает ось Y в точке, где x = -3, но ось Y это x = 0. Значит, отрезок AC не пересекает оси координат.*
• Сторона AB:
• Найдём уравнение прямой, проходящей через A(-3; -6) и B(2; -4).
• Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{-4 - (-6)}{2 - (-3)} = \frac{2}{5} \).
• Уравнение прямой: \( y - (-4) = \frac{2}{5}(x - 2) \)
• \( y + 4 = \frac{2}{5}(x - 2) \)
• \( 5(y + 4) = 2(x - 2) \)
• \( 5y + 20 = 2x - 4 \)
• \( 2x - 5y - 24 = 0 \)
• Пересечение с осью X (y=0): \( 2x - 0 - 24 = 0 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12 \). Точка пересечения (12; 0).
• Пересечение с осью Y (x=0): \( 0 - 5y - 24 = 0 \Rightarrow -5y = 24 \Rightarrow y = -4.8 \). Точка пересечения (0; -4.8).
• *Проверка: Точка B(2; -4) и A(-3; -6) находятся на этом отрезке. Ось X пересекается в точке (12; 0), которая лежит правее отрезка. Ось Y пересекается в точке (0; -4.8), которая лежит между x=-3 и x=2, но y=-4.8 ниже y=-4, то есть точка (0; -4.8) лежит на продолжении отрезка.*
• Сторона BC:
• Найдём уравнение прямой, проходящей через B(2; -4) и C(-3; 4).
• Угловой коэффициент \( k_{BC} = \frac{4 - (-4)}{-3 - 2} = \frac{8}{-5} = -1.6 \).
• Уравнение прямой: \( y - 4 = -1.6(x - (-3)) \)
• \( y - 4 = -1.6(x + 3) \)
• \( y - 4 = -1.6x - 4.8 \)
• \( 1.6x + y + 0.8 = 0 \)
• \( 16x + 10y + 8 = 0 \)
• \( 8x + 5y + 4 = 0 \)
• Пересечение с осью X (y=0): \( 8x + 0 + 4 = 0 \Rightarrow 8x = -4 \Rightarrow x = -0.5 \). Точка пересечения (-0.5; 0).
• Пересечение с осью Y (x=0): \( 0 + 5y + 4 = 0 \Rightarrow 5y = -4 \Rightarrow y = -0.8 \). Точка пересечения (0; -0.8).
• *Проверка: Точка B(2; -4) и C(-3; 4) находятся на этом отрезке. Ось X пересекается в точке (-0.5; 0), которая лежит между x=-3 и x=2. Ось Y пересекается в точке (0; -0.8), которая лежит между y=-4 и y=4.*

Важное замечание: Если в условии задания используется фраза "используя рисунок", то предполагается, что учащийся должен провести чертёж и найти точки визуально, либо с помощью измерений по чертежу, а не вычислять координаты аналитически. Однако, для точности, приведены аналитические вычисления. В школьной тетради достаточно будет точного чертежа.

Ответ:

• Сторона AC не пересекает оси координат (она параллельна оси Y и проходит через \( x = -3 \)).
• Сторона AB пересекает ось X в точке (12; 0) и ось Y в точке (0; -4.8) (на продолжении отрезка).
• Сторона BC пересекает ось X в точке (-0.5; 0) и ось Y в точке (0; -0.8).