06. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) b₂ = −81, S₂ = 162; 2) b₂ = 33, S₂ = 67; 3) b₁ + b₂ = 130, b₁ − b₃ = 120; 4) b₂ + b₄ = 68, b₂ − b₄ = 60.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя \(q\) меньше 1.

1. \(S_2=b_1+b_2=162\), значит, \(b_1=162-(-81)=243\). Тогда \(q=b_2/b_1=-81/243=-1/3\), поэтому \(|q|=1/3<1\).

2. \(b_1=S_2-b_2=67-33=34\). Тогда \(q=33/34\), и \(|q|<1\).

3. Пусть знаменатель прогрессии равен \(q\). Тогда \(b_2=b_1q\), \(b_3=b_1q^2\). Из условия:

   \(b_1(1+q)=130\), \(b_1(1-q^2)=120\).

   Делим второе равенство на первое: \(1-q=120/130=12/13\), откуда \(q=1/13\). Следовательно, \(|q|<1\).

4. Складывая и вычитая данные равенства, получаем \(b_2=64\), \(b_4=4\). Так как \(b_4=b_2q^2\), то \(q^2=4/64=1/16\), поэтому \(q=1/4\) или \(q=-1/4\). В обоих случаях \(|q|=1/4<1\).

Ответ: во всех четырёх случаях прогрессия бесконечно убывающая.