08. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна 13/27.

Обозначим первые три члена через \(x,y,z\). Для геометрической прогрессии \(xz=y^2\). Кроме того,

\((x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=\dfrac{(x+y+z)(xy+xz+yz)}{xyz}.\)

Поскольку \(xz=y^2\), имеем \(xyz=y^3\) и \(xy+xz+yz=y(x+y+z)\). Поэтому произведение сумм равно \((x+y+z)^2/y^2\). По условию оно равно \(39\cdot13/27=169/9\), откуда \((x+y+z)/y=13/3\). Следовательно, \(y=9\).

Пусть знаменатель прогрессии равен \(q\), где \(0

Сумма бесконечной прогрессии равна \(S=27/(1-1/3)=81/2\).

Ответ: \(81/2\).