1. а) Постройте график функции y = x² - 2x - 3. б) Укажите промежуток, в котором функция возрастает.

Решение:

1. Для построения графика параболы \( y = x^2 - 2x - 3 \) найдём координаты вершины. Абсцисса вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \). Ордината вершины: \( y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \). Вершина параболы находится в точке \( (1; -4) \).
2. Найдём точки пересечения с осью Ox, для этого решим уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \), \( \sqrt{D} = 4 \). \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \). Точки пересечения: \( (-1; 0) \) и \( (3; 0) \).
3. Найдём точку пересечения с осью Oy, для этого подставим \( x = 0 \): \( y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \). Точка пересечения: \( (0; -3) \).
4. Так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 > 0 \), ветви параболы направлены вверх.
5. Функция возрастает на промежутке \( [x_в; +\infty) \), то есть на \( [1; +\infty) \).

Ответ: б) Функция возрастает на промежутке [1; +∞).