7. Решите уравнение x² - 2x + √2 - x = √2 - x + 3.

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в левую часть: \( x^2 - 2x + √{2} - x - √{2} + x - 3 = 0 \).
2. Сократим противоположные члены: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16 \).
4. \( \sqrt{D} = 4 \).
5. Найдём корни уравнения:
• \( x_1 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{-(-2) + 4}{2 · 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
• \( x_2 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{-(-2) - 4}{2 · 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).
6. Проверим, для каких из найденных корней выражение под корнем \( √{2} - x \) неотрицательно ( \( ≥ 0 \)).
• Для \( x_1 = 3 \): \( √{2} - 3 \). Поскольку \( √{2} ≈ 1,414 \), то \( 1,414 - 3 < 0 \). Значит, \( x_1 = 3 \) не является решением исходного уравнения.
• Для \( x_2 = -1 \): \( √{2} - (-1) = √{2} + 1 \). Так как \( √{2} + 1 > 0 \), то \( x_2 = -1 \) является решением.

Ответ: -1.