1. Для доказательства равенства треугольников ABC и DEF (рис. 5.20) достаточно доказать, что: a) AB = DF; б) AC = DE; в) AB = DE.

Для того чтобы доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак СУ), нам нужно, чтобы равные стороны и угол между ними соответствовали друг другу.

Рассмотрим варианты:

• а) AB = DF: Это равенство двух сторон. Чтобы доказать равенство треугольников по этому условию, нам нужно знать, что угол между этими сторонами равен, и еще одна пара сторон равна.
• б) AC = DE: Аналогично, это равенство двух сторон.
• в) AB = DE: Это равенство двух сторон.

Для доказательства равенства треугольников по первому признаку (СУ — сторона, угол, сторона) нам нужно, чтобы были равны две стороны И угол МЕЖДУ ними. В задании нам даны только равенства сторон.

Важно: Мы не можем сделать вывод о равенстве треугольников, зная только равенство двух сторон. Нужен либо равный угол между ними, либо третья сторона.

Поэтому, исходя из представленных вариантов, ни один из них сам по себе (без дополнительных условий, например, равенства углов) не является достаточным для доказательства равенства треугольников по первому признаку (СУ).

Однако, если предположить, что речь идет о других признаках равенства треугольников, то:

• По второму признаку (УСУ — угол, сторона, угол): нужно равенство угла, прилежащей стороны и угла.
• По третьему признаку (ССС — сторона, сторона, сторона): нужно равенство всех трех сторон.

В контексте задания, если мы хотим доказать равенство по двум сторонам и углу между ними (что подразумевается под «доказательства» равенства треугольников, если не указан конкретный признак, и обычно подразумевается первый признак), то ни один из вариантов не подходит. Но если мы ищем условие, которое само по себе может быть частью доказательства равенства треугольников по другому признаку, то равенство сторон (любое из предложенных) могло бы быть одним из условий.

Если вопрос подразумевает, что только ОДНО из этих условий должно быть достаточно, то задача некорректна, так как равенства сторон самой по себе недостаточно.

Предположим, что имелось в виду, что нам нужно выбрать ОДНО из условий, которое, вместе с другими (неявными) условиями, могло бы привести к равенству.

Самый вероятный ответ, если речь идет о первом признаке (СУ), то нам нужно равенство двух сторон и угла между ними. В вариантах даны только равенства сторон.

Однако, если мы рассматриваем признаки равенства треугольников, то:

• a) AB = DF;
• б) AC = DE;
• в) AB = DE.

Эти условия сами по себе не доказывают равенство треугольников. Для доказательства равенства треугольников по первому признаку (СУ) нужно равенство двух сторон И угла между ними.

Если бы, например, к варианту «а» добавилось равенство углов ∠A = ∠D, то треугольники были бы равны по первому признаку.

Учитывая, что это задание, скорее всего, требует выбора из предложенных вариантов, и ни один вариант сам по себе не является достаточным, возможно, в задании есть опечатка или оно требует знания дополнительных теорем, которые не представлены.

Но если выбирать наиболее «полезное» условие для потенциального доказательства, то любое равенство сторон (а, б, в) может быть частью доказательства по ССС или СУ.

Обычно, если в задаче спрашивают «достаточно доказать, что…», то имеется в виду условие, которое, вместе с уже известными равными элементами (если они есть), доказывает равенство. В данном случае, если мы ничего не знаем про углы, то равенство сторон само по себе недостаточно.

Если же считать, что есть дополнительные условия, которые не указаны, и нужно выбрать ОДНО из этих равенств сторон, которое могло бы помочь, то любой из вариантов (а, б, в) мог бы быть частью доказательства.

В задачах такого типа часто подразумевается первый признак (СУ). В таком случае, нам нужно равенство двух сторон и угла между ними. Варианты дают только равенство сторон.

Если рассматривать признаки:

1. По двум сторонам и углу между ними (СУ): Нужно равенство двух сторон и угла между ними.
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ): Нужно равенство одной стороны и двух углов.
3. По трем сторонам (ССС): Нужно равенство трех сторон.

Из предложенных вариантов мы имеем только равенство сторон. Если предположить, что угол между сторонами равен (например, ∠B = ∠E), то при равенстве сторон AB = DE (вариант в) треугольники будут равны по СУ.

НО, без информации о равенстве углов, ни одно из этих условий само по себе не доказывает равенство треугольников.

Часто в учебниках такого рода задания подразумевают, что мы ищем такое условие, которое, будучи добавленным к уже имеющимся (например, равенству двух углов), доказывает равенство.

Если мы возьмем вариант (в) AB = DE, и предположим, что у нас уже есть равенство углов ∠B = ∠E (прилежащие к стороне AB и DE соответственно), то по первому признаку (СУ) треугольники будут равны.

НО! Если нам нужно выбрать ОДНО условие, которое ДОСТАТОЧНО, то ни одно из них не подходит.

Если же задача с подвохом и имеется в виду, что нужно выбрать условие, которое могло бы быть частью доказательства по какому-либо признаку, то любой вариант равенства сторон подходит.

Чаще всего, такие вопросы задают для признака СУ. Тогда нужно было бы указать равенство двух сторон и угла между ними.

В данном контексте, если мы должны выбрать ОДИН вариант, и задача подразумевает, что он сам по себе достаточен, то задача сформулирована некорректно, так как равенства сторон недостаточно.

НО, если мы смотрим на рисунок 5.20, то там углы ∠B и ∠E отмечены как равные. Если это учтено, то для доказательства равенства по первому признаку (СУ) нам нужно равенство двух сторон.

Смотрим на варианты:

• а) AB = DF;
• б) AC = DE;
• в) AB = DE.

Если ∠B = ∠E (из рисунка 5.20), то для доказательства равенства треугольников ABC и DEF нам нужно, чтобы либо AB = DE (вариант в), либо BC = EF.

Или, если мы хотим доказать по другому признаку, например, УСУ, то нам нужно равенство угла, прилежащей стороны и угла.

Вернемся к первому признаку (СУ):

• Угол ∠B = ∠E
• Сторона AB = DE (вариант в)
• Тогда нам нужна сторона BC = EF

Или

• Угол ∠B = ∠E
• Сторона BC = EF
• Тогда нам нужна сторона AB = DE (вариант в)

Исходя из рисунка 5.20, где отмечены равные углы B и E, и если мы предполагаем, что признак СУ является целевым, то нам нужно равенство одной из пар сторон, прилежащих к этим углам.

Таким образом, если ∠B = ∠E, то для равенства треугольников по СУ, нам нужно либо AB = DE, либо BC = EF. Вариант (в) AB = DE присутствует.

Поэтому, при условии, что ∠B = ∠E (судя по рисунку), достаточным является условие AB = DE.

Если же мы не учитываем обозначения на рисунке, и исходим только из текста, то ни один вариант сам по себе не достаточен. Но в задачах такого типа рисунок всегда несет информацию.

Вывод: На рисунке 5.20 отмечено равенство углов ∠B = ∠E. Для доказательства равенства треугольников ABC и DEF по первому признаку (СУ - сторона, угол, сторона) необходимо равенство двух сторон и угла между ними. Если угол ∠B равен углу ∠E, то для доказательства равенства треугольников достаточно равенства сторон AB = DE (вариант в) или BC = EF. Вариант (в) присутствует в списке.

Ответ: в) AB = DE.