2. Для доказательства равенства треугольников ABC и EDF (рис. 5.21) достаточно доказать, что: a) ∠A = ∠D; б) ∠B = ∠D; в) ∠A = ∠E.

Для доказательства равенства треугольников по второму признаку (УСУ — угол, сторона, угол), нам нужно, чтобы были равны:

• Один угол.
• Прилежащая к нему сторона.
• Угол, прилежащий к этой стороне с другой стороны.

Рассмотрим предложенные варианты и рисунок 5.21:

На рисунке 5.21 мы видим, что сторона AC треугольника ABC и сторона ED треугольника EDF отмечены одинаковыми штрихами. Это означает, что AC = ED. Это наша сторона.

Теперь нам нужно найти такие углы, чтобы один из них прилегал к этой стороне с одной стороны, а другой — с другой стороны, и чтобы эти углы были равны соответствующим углам в другом треугольнике.

Рассмотрим углы, прилежащие к стороне AC в треугольнике ABC:

• ∠A (прилежит к AC со стороны вершины A)
• ∠C (прилежит к AC со стороны вершины C)

Рассмотрим углы, прилежащие к стороне ED в треугольнике EDF:

• ∠E (прилежит к ED со стороны вершины E)
• ∠D (прилежит к ED со стороны вершины D)

По второму признаку равенства треугольников (УСУ), нам нужно, чтобы:

• ∠A = ∠E (угол при одной вершине)
• AC = ED (сторона между этими углами)
• ∠C = ∠D (угол при другой вершине)

Или, если рассмотреть сторону AC и углы ∠C и ∠A, то в другом треугольнике должны быть равны:

• ∠C = ∠D
• AC = ED
• ∠A = ∠E

Или, если рассмотреть сторону AC и углы ∠A и ∠C, то в другом треугольнике должны быть равны:

• ∠A = ∠E
• AC = ED
• ∠C = ∠D

Итак, у нас есть равная сторона AC = ED. Теперь нужно проверить, какие равенства углов из вариантов помогут доказать равенство по признаку УСУ.

Варианты:

• а) ∠A = ∠D: Если ∠A = ∠D, то у нас есть угол, сторона, угол (∠A, AC, ∠C) и (∠D, ED, ∠E). Если ∠A = ∠D, это не укладывается в признак УСУ, так как нам нужны равные углы прилежащие к равной стороне.
• б) ∠B = ∠D: Угол B не прилежит к стороне AC, поэтому это условие не поможет доказать равенство по признаку УСУ с использованием стороны AC.
• в) ∠A = ∠E: Если ∠A = ∠E, то у нас есть:
  
  • Угол ∠A = ∠E
  • Сторона AC = ED (из рисунка)
  • Теперь нам нужен еще один равный угол, прилежащий к стороне AC с другой стороны, то есть ∠C. И к стороне ED с другой стороны, то есть ∠D.
  • Если ∠A = ∠E И ∠C = ∠D, то треугольники ABC и EDF равны по второму признаку (УСУ).

  Таким образом, условие ∠A = ∠E является одним из необходимых для применения признака УСУ, если мы уже знаем, что AC = ED.

  Вывод: У нас есть равная сторона AC = ED (из рисунка). Для доказательства равенства треугольников по второму признаку (УСУ) нам нужны равные углы, прилежащие к этой стороне. Если ∠A = ∠E, то это одно из условий для применения признака УСУ, при условии, что и ∠C = ∠D.

  Учитывая, что нам нужно выбрать ОДНО достаточное условие, и подразумевается второй признак (УСУ), то равенство ∠A = ∠E, наряду с AC = ED, является частью условия для равенства треугольников.

  Следовательно, для доказательства равенства треугольников ABC и EDF (рис. 5.21) достаточно доказать, что ∠A = ∠E (при условии AC = ED, что следует из рисунка).

  Ответ: в) ∠A = ∠E.