1. Интенсивность звука убывает с расстоянием х от источника по закону I = A/x², где А – постоянная величина. Получить формулу для градиента интенсивности.

Решение:

Градиент интенсивности — это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания интенсивности. Его величина равна скорости изменения интенсивности в этом направлении.

Градиент интенсивности \( \vec{\nabla}I \) находится как:

\[ \vec{\nabla}I = \frac{\partial I}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial I}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial I}{\partial z} \vec{k} \]

В данном случае зависимость интенсивности от расстояния \( x \) задана как \( I = \frac{A}{x^2} \). Предполагая, что интенсивность зависит только от \( x \), градиент будет одномерным:

\[ \frac{dI}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{A}{x^2} \right) = A \cdot \frac{d}{dx} (x^{-2}) = A \cdot (-2x^{-3}) = -\frac{2A}{x^3} \]

Формула для градиента интенсивности:

\[ \vec{\nabla}I = -\frac{2A}{x^3} \vec{i} \]

Ответ: \( \vec{\nabla}I = -\frac{2A}{x^3} \vec{i} \).