5. Найти неопределенный интеграл ∫ dx / √4x-3

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int \frac{dx}{\sqrt{4x-3}} \) воспользуемся методом замены переменной.

Пусть \( u = 4x - 3 \).

Тогда \( du = 4 dx \), откуда \( dx = \frac{1}{4} du \).

Подставим замену в интеграл:

\[ \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-\frac{1}{2}} du \]

Теперь проинтегрируем:

\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{2} \sqrt{u} + C \]

Вернемся к переменной \( x \), подставив \( u = 4x - 3 \):

\[ \frac{1}{2} \sqrt{4x - 3} + C \]

Ответ: \( \frac{1}{2} \sqrt{4x - 3} + C \).