2. Найти производную и дифференциал функции y = sin(lnx)

Решение:

Найдем производную функции \( y = \sin(\ln x) \).

Используем правило дифференцирования сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Здесь \( f(u) = \sin u \) и \( u = g(x) = \ln x \).

Производная \( f'(u) = \cos u \).

Производная \( g'(x) = \frac{1}{x} \).

Тогда производная \( y' \) будет:

\[ y' = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\ln x)}{x} \]

Дифференциал функции \( dy \) равен:

\[ dy = y' dx = \frac{\cos(\ln x)}{x} dx \]

Ответ: Производная \( y' = \frac{\cos(\ln x)}{x} \). Дифференциал \( dy = \frac{\cos(\ln x)}{x} dx \).