6. Вычислить определенный интеграл ∫[2,6] (2x+5)/x² dx

Решение:

Вычислим определенный интеграл \( \int_{2}^{6} \frac{2x+5}{x^2} dx \).

Сначала преобразуем подынтегральную функцию:

\[ \frac{2x+5}{x^2} = \frac{2x}{x^2} + \frac{5}{x^2} = \frac{2}{x} + 5x^{-2} \]

Теперь найдем первообразную:

\[ \int \left( \frac{2}{x} + 5x^{-2} \right) dx = 2 \ln|x| + 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2 \ln|x| - \frac{5}{x} + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{2}^{6} \left( \frac{2}{x} + 5x^{-2} \right) dx = \left[ 2 \ln|x| - \frac{5}{x} \right]_{2}^{6} \]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ = \left( 2 \ln|6| - \frac{5}{6} \right) - \left( 2 \ln|2| - \frac{5}{2} \right) \]

= \( 2 \ln 6 - \frac{5}{6} - 2 \ln 2 + \frac{5}{2} \)

= \( 2(\ln 6 - \ln 2) + \frac{5}{2} - \frac{5}{6} \)

= \( 2\ln \frac{6}{2} + \frac{15}{6} - \frac{5}{6} \)

= \( 2\ln 3 + \frac{10}{6} = 2\ln 3 + \frac{5}{3} \)

Ответ: \( 2\ln 3 + \frac{5}{3} \).