8. Вывести закон поглощения света в веществе (закон Бугера), считая, что интенсивность света I уменьшается на величину dI, пропорциональную I и толщине тонкого слоя вещества dx. Показатель поглощения k=0,2 см⁻¹. Интенсивность падающего света при х=0 I₀=1 Вт/см².

Решение:

По условию, изменение интенсивности света \( dI \) пропорционально интенсивности \( I \) и толщине слоя \( dx \). Так как интенсивность убывает, \( dI \) будет отрицательным, поэтому введем знак минус:

\[ dI = -k I dx \]

где \( k \) — показатель поглощения (константа).

Это дифференциальное уравнение. Разделим переменные:

\[ \frac{dI}{I} = -k dx \]

Проинтегрируем обе части. Нижний предел интегрирования по \( I \) — начальная интенсивность \( I_0 \) (при \( x=0 \)), верхний предел — интенсивность \( I \) (при толщине \( x \)).

\[ \int_{I_0}^{I} \frac{dI}{I} = \int_{0}^{x} -k dx \]

Вычислим интегралы:

\[ \left[ \ln|I| \right]_{I_0}^{I} = -k \left[ x \right]_{0}^{x} \]

\( \ln|I| - \ln|I_0| = -k(x - 0) \)

\( \ln \left( \frac{I}{I_0} \right) = -kx \) (так как \( I \) и \( I_0 \) положительны).

Потенцируем обе части:

\( \frac{I}{I_0} = e^{-kx} \)

\( I = I_0 e^{-kx} \)

Это закон Бугера (или закон Бугера-Ламберта-Бера).

Теперь подставим данные значения: \( I_0 = 1 \) Вт/см², \( k = 0.2 \) см⁻¹.

\( I(x) = 1 · e^{-0.2x} \)

\( I(x) = e^{-0.2x} \) Вт/см².

Ответ: Закон поглощения света: \( I(x) = I_0 e^{-kx} \). В данном случае: \( I(x) = e^{-0.2x} \) Вт/см².