7. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения 1-го порядка dC = k C dt (k — константа), если при t = 0 C = C₀.

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

\[ \frac{dC}{dt} = kC \]

Разделим переменные:

\[ \frac{dC}{C} = k dt \]

Проинтегрируем обе части:

\[ \int \frac{dC}{C} = \int k dt \]

Получим общее решение:

\[ \ln|C| = kt + \ln|A| \]

где \( \ln|A| \) — произвольная постоянная интегрирования. Можно записать \( \ln|C| = kt + \ln A \), где \( A > 0 \).

Перенесем \( \ln A \) влево:

\( \ln|C| - \ln A = kt \)

\( \ln \left| \frac{C}{A} \right| = kt \)

Потенцируем обе части:

\( \left| \frac{C}{A} \right| = e^{kt} \)

\( \frac{C}{A} = \pm e^{kt} \)

Обозначим \( \pm A = B \), где \( B \) — произвольная ненулевая постоянная:

\( C = B e^{kt} \)

Если \( C=0 \), то \( dC/dt = 0 \), что удовлетворяет уравнению. Значит, \( C=0 \) тоже является решением, и его можно включить, полагая \( B = 0 \). Таким образом, общее решение:

\( C(t) = B e^{kt} \)

Теперь найдем частное решение, используя начальное условие \( t = 0, C = C_0 \).

Подставим эти значения в общее решение:

\( C_0 = B e^{k · 0} \)

\( C_0 = B e^0 \)

\( C_0 = B · 1 \)

\( B = C_0 \)

Таким образом, частное решение:

\( C(t) = C_0 e^{kt} \)

Ответ: Общее решение: \( C(t) = B e^{kt} \). Частное решение: \( C(t) = C_0 e^{kt} \).