4. Период свободных незатухающих колебаний колебательного контура выражается формулой T = 2π√LC, где индуктивность катушки L=0,0001 Гн, емкость конденсатора C=5·10⁻¹⁰ Ф. Найти изменение периода колебаний при увеличении индуктивности на ΔL=0,00002 Гн. Воспользоваться формулой ΔT≈dT.

Решение:

Дано: \( L = 0.0001 \) Гн, \( C = 5 · 10^{-10} \) Ф, \( \Delta L = 0.00002 \) Гн.

Формула периода: \( T = 2\pi\sqrt{LC} \).

Найдем производную \( T \) по \( L \):

\[ \frac{dT}{dL} = 2\pi \cdot \frac{1}{2\sqrt{LC}} \cdot C = \frac{\pi\sqrt{C}}{\sqrt{L}} \]

Используем приближенную формулу \( \Delta T \approx \frac{dT}{dL} \Delta L \). Сначала вычислим значение \( \frac{dT}{dL} \) при заданных \( L \) и \( C \):

\[ \sqrt{LC} = \sqrt{0.0001 \cdot 5 · 10^{-10}} = \sqrt{5 · 10^{-4} · 10^{-10}} = \sqrt{5 · 10^{-14}} = \sqrt{5} · 10^{-7} \]\[ T = 2\pi \sqrt{LC} = 2\pi \sqrt{5} · 10^{-7} \]Так как \( T = 2\pi\sqrt{L} \sqrt{C} \), то \( \frac{dT}{dL} = 2\pi \sqrt{C} \cdot \frac{1}{2\sqrt{L}} = \frac{\pi\sqrt{C}}{\sqrt{L}} \).

Вычислим \( \frac{dT}{dL} \):

\[ \sqrt{L} = \sqrt{0.0001} = 0.01 \]\[ \sqrt{C} = \sqrt{5 · 10^{-10}} = \sqrt{5} · 10^{-5} \]\[ \frac{dT}{dL} = \frac{\pi \sqrt{5} · 10^{-5}}{0.01} = \pi \sqrt{5} · 10^{-3} \]

Теперь найдем \( \Delta T \):

\[ \Delta T \approx \frac{dT}{dL} \Delta L = (\pi \sqrt{5} · 10^{-3}) \cdot (0.00002) = \pi \sqrt{5} · 10^{-3} \cdot 2 · 10^{-5} = 2\pi\sqrt{5} · 10^{-8} \]

Приблизительно \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).

\[ \Delta T \approx 2 \cdot 3.14159 \cdot 2.236 \cdot 10^{-8} \approx 14.049 \cdot 10^{-8} \approx 1.405 \u00B7 10^{-7} \] сек.

Ответ: Изменение периода колебаний \( \Delta T \approx 1.405 \u00B7 10^{-7} \) с.