1. Известно, что ctg (3π/2 + t) = 4/5 и π/2 < t < π. Найдите: a) tg (3π/2 - t); б) tg (3π + t).

Решение:

По условию \( \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \frac{4}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \). Используем тригонометрические тождества:

\( \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\text{tg}(t) \)

Следовательно, \( -\text{tg}(t) = \frac{4}{5} \), откуда \( \text{tg}(t) = -\frac{4}{5} \).

Так как \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \), то \( t \) находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, что соответствует найденному значению.

а) Найдите tg (3π/2 - t):

Используем формулу приведения:

\( \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - t\right) = \text{ctg}(t) \)

Так как \( \text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \frac{4}{5} \) и \( \text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)} \), то \( \text{tg}(t) = -\frac{5}{4} \). Таким образом, \( \text{ctg}(t) = -\frac{4}{5} \).

Ответ: tg (3π/2 - t) = -4/5.

б) Найдите tg (3π + t):

Используем периодичность тангенса (период \( \pi \)):

\( \text{tg}(3\pi + t) = \text{tg}(\pi + t) = \text{tg}(t) \)

Мы нашли, что \( \text{tg}(t) = -\frac{4}{5} \).

Ответ: tg (3π + t) = -4/5.