3. Упростите выражение: sin² t - cos²t / (ctg (-t) tg t) ctg² t (-1 + 1/cos² t).

Решение:

Первое выражение:

\( \text{sin}^2 t - \frac{\text{cos}^2 t}{\text{ctg}(-t) \text{tg } t} \)

Поскольку \( \text{ctg}(-t) = -\text{ctg}(t) \) и \( \text{ctg}(t) = \frac{1}{\text{tg}(t)} \), то \( \text{ctg}(-t) \text{tg } t = -\text{ctg}(t) \text{tg}(t) = -1 \).

Подставляем в исходное выражение:

\( \text{sin}^2 t - \frac{\text{cos}^2 t}{-1} = \text{sin}^2 t + \text{cos}^2 t \)

Используя основное тригонометрическое тождество \( \text{sin}^2 t + \text{cos}^2 t = 1 \).

Ответ: 1.

Второе выражение:

\( \text{ctg}^2 t \left(-1 + \frac{1}{\text{cos}^2 t}\right) \)

Приведём к общему знаменателю в скобках:

\( \text{ctg}^2 t \left(\frac{-\text{cos}^2 t + 1}{\text{cos}^2 t}\right) \)

Используя тождество \( 1 - \text{cos}^2 t = \text{sin}^2 t \):

\( \text{ctg}^2 t \left(\frac{\text{sin}^2 t}{\text{cos}^2 t}\right) \)

Так как \( \text{ctg}^2 t = \frac{\text{cos}^2 t}{\text{sin}^2 t} \):

\( \frac{\text{cos}^2 t}{\text{sin}^2 t} \cdot \frac{\text{sin}^2 t}{\text{cos}^2 t} = 1 \)

Ответ: 1.