5. Решите уравнение: a) 3 sin² x + 7 cos x - 3 = 0; б) sin² x - cos x sin x = 0.

Решение:

а) 3 sin² x + 7 cos x - 3 = 0

Используем тождество \( \text{sin}^2 x = 1 - \text{cos}^2 x \):

\[ 3(1 - \text{cos}^2 x) + 7 \text{ cos } x - 3 = 0 \]

\[ 3 - 3 \text{ cos }^2 x + 7 \text{ cos } x - 3 = 0 \]

\[ -3 \text{ cos }^2 x + 7 \text{ cos } x = 0 \]

\[ \text{ cos } x (7 - 3 \text{ cos } x) = 0 \]

Отсюда либо \( \text{cos } x = 0 \), либо \( 7 - 3 \text{ cos } x = 0 \).

1) \( \text{cos } x = 0 \)
\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

2) \( 7 - 3 \text{ cos } x = 0
\text{ cos } x = \frac{7}{3} \). Решений нет, так как \( \frac{7}{3} > 1 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

б) sin² x - cos x sin x = 0

Вынесем общий множитель \( \text{sin } x \):

\[ \text{sin } x (\text{sin } x - \text{ cos } x) = 0 \]

Отсюда либо \( \text{sin } x = 0 \), либо \( \text{sin } x - \text{ cos } x = 0 \).

1) \( \text{sin } x = 0
\text{ x = } \pi k, k \in \mathbb{Z} \).

2) \( \text{sin } x - \text{ cos } x = 0 \)
Разделим обе части на \( \text{ cos } x \) (при условии, что \( \text{ cos } x \neq 0 \), иначе \( \text{sin } x = 0 \) и \( \text{ cos } x = 0 \), что невозможно):

\[ \text{ tg } x = 1 \]
\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi k, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z} \).