6. Найдите корни уравнения sin (2x - π/2) = -1/2, принадлежащие полуинтервалу (0; 3π/2].

Решение:

Уравнение: \( \text{sin}\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \).

Используем формулу приведения: \( \text{sin}\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\text{cos}(2x) \).

Получаем: \( -\text{cos}(2x) = -\frac{1}{2} \), то есть \( \text{cos}(2x) = \frac{1}{2} \).

Общее решение для \( 2x \):

\[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Разделим на 2, чтобы найти \( x \):

\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдём корни, принадлежащие полуинтервалу \( \left(0; \frac{3\pi}{2}\right] \).

Рассмотрим два случая:

1) \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \):

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \) (принадлежит интервалу).
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \) (принадлежит интервалу).
• При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \) (не принадлежит интервалу).

2) \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \):

• При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \) (принадлежит интервалу).
• При \( k = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (не принадлежит интервалу, так как \( \frac{11\pi}{6} > \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \)).

Ответ: \( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \).