4. Вычислите: a) 2 arcsin √2/2 - 1/2 arctg √3; б) ctg (arccos 1/2 + arcsin √3/2).

Решение:

а) 2 arcsin √2/2 - 1/2 arctg √3

Найдём значения арксинуса и арктангенса:

\( \text{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)

\( \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)

Подставим найденные значения:

\[ 2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \]

Ответ: π/3.

б) ctg (arccos 1/2 + arcsin √3/2)

Найдём значения арккосинуса и арксинуса:

\( \text{arccos}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \)

\( \text{arcsin}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \)

Подставим найденные значения:

\[ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) \]

Значение \( \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: -√3/3.