8. Решите уравнение 3 sin²x - 4 sinxcosx + 5 cos²x = 0.

Решение:

Уравнение: \( 3 \text{ sin }^2 x - 4 \text{ sin } x \text{ cos } x + 5 \text{ cos }^2 x = 0 \).

Заметим, что \( \text{cos } x = 0 \) не является решением, так как в этом случае \( 3 \text{ sin }^2 x = 0 \), что означает \( \text{ sin } x = 0 \), а \( \text{ sin } x \) и \( \text{ cos } x \) одновременно равны нулю быть не могут.

Разделим обе части уравнения на \( \text{ cos }^2 x \):

\[ \frac{3 \text{ sin }^2 x}{\text{ cos }^2 x} - \frac{4 \text{ sin } x \text{ cos } x}{\text{ cos }^2 x} + \frac{5 \text{ cos }^2 x}{\text{ cos }^2 x} = 0 \]

\[ 3 \text{ tg }^2 x - 4 \text{ tg } x + 5 = 0 \]

Пусть \( y = \text{ tg } x \). Тогда получаем квадратное уравнение:

\[ 3y^2 - 4y + 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44 \]

Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.