1. Найдите значение выражения: 2⁻³ ⋅ 8³ - log₀,₁ 25 + log₀,₁ 4

Решение:

Сначала преобразуем выражение:

\( 2^{-3} \cdot 8^3 = \frac{1}{2^3} \cdot (2^3)^3 = \frac{1}{8} \cdot 2^9 = 2^6 = 64 \)

Теперь упростим логарифмы:

\( \log_{0,1} 25 + \log_{0,1} 4 = \log_{0,1} (25 \cdot 4) = \log_{0,1} 100 \)

Так как \( 0,1 = \frac{1}{10} \), то \( \log_{0,1} 100 = \log_{10^{-1}} 10^2 \).

Используем свойство логарифма \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \):

\( \log_{10^{-1}} 10^2 = \frac{2}{-1} \log_{10} 10 = -2 \cdot 1 = -2 \)

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

\( 64 - (-2) = 64 + 2 = 66 \)

Ответ: 66