6. Найдите точки экстремума и значения функции в этих точках. \( f(x) = -x^4 + 8x^2 + 3 \).

Решение:

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.

1. Находим производную функции:

\( f'(x) = (-x^4 + 8x^2 + 3)' \)

\( f'(x) = -4x^3 + 16x \)

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

\( -4x^3 + 16x = 0 \)

Выносим общий множитель \( -4x \):

\( -4x(x^2 - 4) = 0 \)

\( -4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)

Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \).

3. Определяем знаки производной на интервалах:

• На интервале \( (-\infty; -2) \), возьмем \( x = -3 \): \( f'(-3) = -4(-3)^3 + 16(-3) = -4(-27) - 48 = 108 - 48 = 60 > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (-2; 0) \), возьмем \( x = -1 \): \( f'(-1) = -4(-1)^3 + 16(-1) = -4(-1) - 16 = 4 - 16 = -12 < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (0; 2) \), возьмем \( x = 1 \): \( f'(1) = -4(1)^3 + 16(1) = -4 + 16 = 12 > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (2; \infty) \), возьмем \( x = 3 \): \( f'(3) = -4(3)^3 + 16(3) = -4(27) + 48 = -108 + 48 = -60 < 0 \) (функция убывает).

4. Определяем точки экстремума и значения функции:

• В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, это точка максимума.
• \( f(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 + 3 = -16 + 8(4) + 3 = -16 + 32 + 3 = 19 \).
• В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, это точка минимума.
• \( f(0) = -(0)^4 + 8(0)^2 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 \).
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, это точка максимума.
• \( f(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 + 3 = -16 + 8(4) + 3 = -16 + 32 + 3 = 19 \).

Ответ: Точки максимума: \( x = -2 \) (значение \( 19 \)), \( x = 2 \) (значение \( 19 \)). Точка минимума: \( x = 0 \) (значение \( 3 \)).