9. Решите уравнение, в ответ укажите наименьший положительный корень: \( 2 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0 \).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество.

Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \):

\( 2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \)

\( 2 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \)

\( -2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \)

Умножим на \( -1 \) для удобства:

\( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \)

2. Введем замену переменной.

Пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 + t - 1 = 0 \)

3. Решаем квадратное уравнение.

Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \u0018 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \u0018 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

4. Возвращаемся к исходной переменной \( x \).

У нас два случая:

• Случай 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Наименьший положительный корень этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{6} \).

• Случай 2: \( \sin x = -1 \)

Корень этого уравнения: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \) (где \( k \) — целое число). Наименьший положительный корень равен \( \frac{3\pi}{2} \) (при \( k=1 \)).

5. Выбираем наименьший положительный корень.

Сравниваем \( \frac{\pi}{6} \) и \( \frac{3\pi}{2} \). Очевидно, что \( \frac{\pi}{6} \) меньше.

Ответ: \( \frac{\pi}{6} \)