7. Радиус основания конуса равен 7 см, а образующая конуса равна 12 см. Найдите объём конуса, и площадь полной поверхности.

Решение:

1. Найдем высоту конуса.

Высота \( h \), радиус основания \( r \) и образующая \( l \) связаны теоремой Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).

Нам дано: \( r = 7 \) см, \( l = 12 \) см.

\( 12^2 = 7^2 + h^2 \)

\( 144 = 49 + h^2 \)

\( h^2 = 144 - 49 \)

\( h^2 = 95 \)

\( h = \sqrt{95} \) см.

2. Найдем объем конуса.

Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

\( V = \frac{1}{3}\pi  7^2  \sqrt{95} \)

\( V = \frac{49\sqrt{95}}{3}\pi \) см³.

3. Найдем площадь полной поверхности конуса.

Формула площади полной поверхности конуса: \( S = \pi r (r + l) \).

\( S = \pi  7 (7 + 12) \)

\( S = \pi  7  19 \)

\( S = 133\pi \) см².

Ответ: Объем конуса \( V = \frac{49\sqrt{95}}{3}\pi \) см³, площадь полной поверхности \( S = 133\pi \) см².