8. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = 5 - x^2 \); \( y = 1 \). Выполните чертеж.

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков:

Приравниваем правые части уравнений:

\( 5 - x^2 = 1 \)

\( x^2 = 5 - 1 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \).

Точки пересечения: \( (-2; 1) \) и \( (2; 1) \).

2. Выполняем чертеж:

График \( y = 5 - x^2 \) — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0; 5) \).

График \( y = 1 \) — горизонтальная прямая.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена параболой сверху и прямой \( y = 1 \) снизу, на интервале от \( x = -2 \) до \( x = 2 \).

3. Вычисляем площадь фигуры

Площадь фигуры можно найти как интеграл разности функций:

\( S = \int_{-2}^{2} ((5 - x^2) - 1) dx \)

\( S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \)

Находим первообразную:

\( F(x) = 4x - \frac{x^3}{3} \)

Вычисляем определенный интеграл:

\( S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \)

\( S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \)

\( S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \)

\( S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \)

\( S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: \( S = \frac{32}{3} \)