1. Решить систему уравнений: { y^2 - 1 = 4x^2 + 4x, 4x^2 + y^2 - 3xy = 1

Решение:

Подставим \( y^2 = 4x^2 + 4x + 1 \) из первого уравнения во второе:

\( 4x^2 + (4x^2 + 4x + 1) - 3xy = 1 \)

\( 8x^2 + 4x + 1 - 3xy = 1 \)

\( 8x^2 + 4x - 3xy = 0 \)

\( x(8x + 4 - 3y) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( 8x + 4 - 3y = 0 \).

Случай 1: \( x = 0 \)

Подставим \( x = 0 \) в первое уравнение: \( y^2 - 1 = 4(0)^2 + 4(0) \)

\( y^2 - 1 = 0 \)

\( y^2 = 1 \)

\( y = ± 1 \)

Получаем два решения: \( (0, 1) \) и \( (0, -1) \).

Случай 2: \( 8x + 4 - 3y = 0 \)

Выразим \( y \): \( 3y = 8x + 4 \), \( y = \frac{8x + 4}{3} \).

Подставим в первое уравнение: \( \left(\frac{8x + 4}{3}\right)^2 - 1 = 4x^2 + 4x \)

\( \frac{64x^2 + 64x + 16}{9} - 1 = 4x^2 + 4x \)

\( 64x^2 + 64x + 16 - 9 = 36x^2 + 36x \)

\( 64x^2 + 64x + 7 = 36x^2 + 36x \)

\( 28x^2 + 28x + 7 = 0 \)

Разделим на 7: \( 4x^2 + 4x + 1 = 0 \)

Это полный квадрат: \( (2x + 1)^2 = 0 \)

\( 2x + 1 = 0 \)

\( x = -\frac{1}{2} \).

Найдем \( y \): \( y = \frac{8(-\frac{1}{2}) + 4}{3} = \frac{-4 + 4}{3} = 0 \).

Получаем решение: \( (-\frac{1}{2}, 0) \).

Ответ: \( (0, 1) \), \( (0, -1) \), \( (-\frac{1}{2}, 0) \).