4. Решить уравнение: \( \sin 2x + \cos 2x = -1 \)

Решение:

Перепишем уравнение \( \sin 2x + \cos 2x = -1 \) в виде \( \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0 \).

Используем формулы понижения степени:

\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

\( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \)

\( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

\( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \)

Подставляем в уравнение:

\( 2 \sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x = 0 \)

\( 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \)

\( 2 \cos x (\sin x + \cos x) = 0 \)

Это дает два случая:

Случай 1: \( \cos x = 0 \)

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Подставим в исходное уравнение:

\( \sin (2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) + \cos (2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \sin (\pi + 2\pi n) + \cos (\pi + 2\pi n) = 0 + (-1) = -1 \).

Это решение подходит.

Случай 2: \( \sin x + \cos x = 0 \)

Разделим на \( \cos x \) (при условии \( \cos x
e 0 \), что выполняется, так как \( \cos x = 0 \) мы уже рассмотрели):

\( \tan x + 1 = 0 \)

\( \tan x = -1 \)

\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Подставим в исходное уравнение:

\( \sin (2(-\frac{\pi}{4} + \pi k)) + \cos (2(-\frac{\pi}{4} + \pi k)) = \sin (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) + \cos (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -1 + 0 = -1 \).

Это решение также подходит.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.