2. Решить неравенство: \( \sqrt{x^2 - 4x + 3} \ge 2 - x \)

Решение:

Для решения неравенства \( \sqrt{x^2 - 4x + 3} \ge 2 - x \) рассмотрим два случая.

Случай 1: \( 2 - x < 0 \) (т.е. \( x > 2 \))

В этом случае левая часть (корень) неотрицательна, а правая часть отрицательна. Неравенство выполняется для всех \( x \), удовлетворяющих условию \( x > 2 \) и условию подкоренного выражения \( x^2 - 4x + 3 \ge 0 \).

Разложим трехчлен: \( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \). Значит, \( (x - 1)(x - 3) \ge 0 \) при \( x \le 1 \) или \( x \ge 3 \).

Учитывая \( x > 2 \), получаем \( x \ge 3 \).

Случай 2: \( 2 - x \ge 0 \) (т.е. \( x \le 2 \))

В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Можно возвести обе части в квадрат:

\( x^2 - 4x + 3 \ge (2 - x)^2 \)

\( x^2 - 4x + 3 \ge 4 - 4x + x^2 \)

\( -4x + 3 \ge 4 - 4x \)

\( 3 \ge 4 \)

Это неверно. Значит, в этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем \( x \ge 3 \).

Ответ: \( [3, +\infty) \).