9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) на заданных промежутках, сначала найдем её производную.

\( f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 1)' = 3x^2 - 12x + 9 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)

Разделим на 3: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).

Корни: \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).

Критические точки: \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

a) На отрезке [0; 2]:

Вычислим значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка:

• \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 1 = 1 \)
• \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 \)
• \( f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 1 = 8 - 6(4) + 18 + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3 \)

Наибольшее значение на отрезке [0; 2] равно 5 (в точке \( x = 1 \)).

Наименьшее значение на отрезке [0; 2] равно 1 (в точке \( x = 0 \)).

b) На промежутке [-2; -1]:

Критические точки \( x = 1 \) и \( x = 3 \) не попадают в промежуток [-2; -1]. Поэтому значения функции будем вычислять только на концах промежутка.

• \( f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9(-2) + 1 = -8 - 6(4) - 18 + 1 = -8 - 24 - 18 + 1 = -49 \)
• \( f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + 1 = -1 - 6(1) - 9 + 1 = -1 - 6 - 9 + 1 = -15 \)

Наибольшее значение на промежутке [-2; -1] равно -15 (в точке \( x = -1 \)).

Наименьшее значение на промежутке [-2; -1] равно -49 (в точке \( x = -2 \)).

Ответ:

a) На отрезке [0; 2]: наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно 1.

b) На промежутке [-2; -1]: наибольшее значение равно -15, наименьшее значение равно -49.