1. Решить уравнение: \(\sqrt{x - 1} = 3 - x\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left( \sqrt{x - 1} \right)^2 = (3 - x)^2 \]\[ x - 1 = 9 - 6x + x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 6x - x + 9 + 1 = 0 \]\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]\[ \sqrt{D} = 3 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Проверим корни:

Для \( x = 5 \): \( \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2 \) и \( 3 - 5 = -2 \). \( 2 \neq -2 \), значит \( x = 5 \) — посторонний корень.

Для \( x = 2 \): \( \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1 \) и \( 3 - 2 = 1 \). \( 1 = 1 \), значит \( x = 2 \) — верный корень.

Ответ: 2