5. Решить уравнение: \(7^{x+2} + 2 \cdot 7^{x-1} = 345\)

Решение:

Вынесем общий множитель \( 7^{x-1} \):

\[ 7^{x-1} \cdot 7^3 + 2 \cdot 7^{x-1} = 345 \]\[ 7^{x-1} \cdot (7^3 + 2) = 345 \]

Вычислим значение в скобках:

\[ 7^3 = 343 \]\[ 7^{x-1} \cdot (343 + 2) = 345 \]\[ 7^{x-1} \cdot 345 = 345 \]

Разделим обе части на 345:

\[ 7^{x-1} = \frac{345}{345} \]\[ 7^{x-1} = 1 \]

Поскольку любое число в степени 0 равно 1:

\[ x - 1 = 0 \]

Решим уравнение:

\[ x = 1 \]

Проверим корень:

\[ 7^{1+2} + 2 \cdot 7^{1-1} = 7^3 + 2 \cdot 7^0 = 343 + 2 \cdot 1 = 343 + 2 = 345 \]

Верно.

Ответ: 1