7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^2 - 6x + 10\) на отрезке \([0; 4]\)

Решение:

Найдём производную функции:

\[ f'(x) = \left( x^2 - 6x + 10 \right)' = 2x - 6 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 2x - 6 = 0 \]\[ 2x = 6 \]\[ x = 3 \]

Критическая точка \( x = 3 \) принадлежит отрезку \([0; 4]\).

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка:

• При \( x = 0 \): \( f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 10 = 10 \)
• При \( x = 3 \): \( f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 \)
• При \( x = 4 \): \( f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 10 = 16 - 24 + 10 = 2 \)

Сравним полученные значения:

• Наибольшее значение: \( 10 \)
• Наименьшее значение: \( 1 \)

Ответ: Наибольшее значение функции равно 10, наименьшее — 1.