6. Вычислите интеграл: \(\int_{0}^{2} 2x^4 dx\)

Решение:

Вынесем константу за знак интеграла:

\[ \int_{0}^{2} 2x^4 dx = 2 \int_{0}^{2} x^4 dx \]

Применим формулу интегрирования \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ 2 \left[ \frac{x^{4+1}}{4+1} \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ 2 \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{32}{5} - 0 \right) \]

Вычислим результат:

\[ 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5} \]

Переведём в десятичную дробь:

\[ \frac{64}{5} = 12.8 \]

Ответ: 12.8