9. Образующая конуса 6 см, она наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти объем конуса.

Решение:

Образующая конуса \( l = 6 \) см. Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей \( l \), высотой конуса \( h \) и радиусом основания \( r \). В этом треугольнике образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами.

Высота конуса \( h \) является катетом, противолежащим углу \( \alpha \):

\[ h = l \sin \alpha = 6 \sin 30^{\circ} \]\[ h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см

Радиус основания \( r \) является катетом, прилежащим к углу \( \alpha \):

\[ r = l \cos \alpha = 6 \cos 30^{\circ} \]\[ r = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см

Объём конуса вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Подставим найденные значения \( r \) и \( h \):

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left( 3\sqrt{3} \right)^2 \cdot 3 \]\[ V = \frac{1}{3} \pi \left( 9 \cdot 3 \right) \cdot 3 \]\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 \cdot 3 \]

Вычислим результат:

\[ V = \pi \cdot 27 \]\[ V = 27\(\pi\) \) см³

Ответ: \( 27\pi \) см³