1. Решите неравенство $$\frac{(x-5)(2x+7)}{4-x} \ge 0$$

Решение:

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{(x-5)(2x+7)}{4-x} \).
2. Найдем корни числителя: \( x-5=0 \Rightarrow x=5 \) и \( 2x+7=0 \Rightarrow x = -3.5 \).
3. Найдем корень знаменателя: \( 4-x=0 \Rightarrow x=4 \).
4. Отметим корни на числовой оси: -3.5, 4, 5.
5. Определим знаки функции на интервалах:
   • При \( x < -3.5 \) (например, \( x=-4 \)): \( f(-4) = \frac{(-4-5)(2(-4)+7)}{4-(-4)} = \frac{(-9)(-1)}{8} = \frac{9}{8} > 0 \).
   • При \( -3.5 < x < 4 \) (например, \( x=0 \)): \( f(0) = \frac{(0-5)(2(0)+7)}{4-0} = \frac{(-5)(7)}{4} = -\frac{35}{4} < 0 \).
   • При \( 4 < x < 5 \) (например, \( x=4.5 \)): \( f(4.5) = \frac{(4.5-5)(2(4.5)+7)}{4-4.5} = \frac{(-0.5)(9+7)}{-0.5} = 16 > 0 \).
   • При \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \( f(6) = \frac{(6-5)(2(6)+7)}{4-6} = \frac{(1)(12+7)}{-2} = -\frac{19}{2} < 0 \).
6. Учитывая, что \( f(x) \) должно быть \(\ge 0 \), а также то, что знаменатель не может быть равен нулю \( (x \ne 4) \), получаем: \( x \in [-3.5; 4) \cup [5; \infty) \).

Ответ: \( x \in [-3.5; 4) \cup [5; \infty) \).