11. Решите уравнение $$(1 + cosx)(\sqrt{2sinx} - 1) = 0$$

Question

$Фото задания: 11. Решите уравнение $(1 + cosx)(\sqrt{2sinx} - 1) = 0$$ Фото задания

Accepted Answer

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим первый множитель: $ 1 + cosx = 0 $

$ cosx = -1 $

$ x = \pi + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Рассмотрим второй множитель: $ \sqrt{2sinx} - 1 = 0 $

$ \sqrt{2sinx} = 1 $

Возведем обе части в квадрат:

$ 2sinx = 1 $

$ sinx = \frac{1}{2} $

$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $ или $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $, где $ n, m $ — целые числа.

Проверим условие $ 2sinx \ge 0 $ для корня. Так как $ sinx = 1/2 $, то $ 2sinx = 2(1/2) = 1 \ge 0 $, условие выполняется.

Таким образом, решениями являются:

$ x = \pi + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $, где $ k, n, m $ — целые числа.

Ответ: $ x = \pi + 2\pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $ (где $ k, n, m $ — целые числа).