1. Тип 7 № 12290 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем координаты точек. Пусть точка С имеет координаты (0,0), точка B имеет координаты (2,0), а точка А имеет координаты (1,1).
2. Шаг 2: Находим векторы BA и BC. Вектор BA = (1-2, 1-0) = (-1, 1). Вектор BC = (0-2, 0-0) = (-2, 0).
3. Шаг 3: Вычисляем скалярное произведение векторов BA и BC. BA · BC = (-1)*(-2) + 1*0 = 2.
4. Шаг 4: Находим длины векторов BA и BC. |BA| = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2}\) = \(\sqrt{2}\). |BC| = \(\sqrt{(-2)^2 + 0^2}\) = 2.
5. Шаг 5: Находим косинус угла ABC по формуле: \(\cos(\angle ABC) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|}\). \(\cos(\angle ABC) = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
6. Шаг 6: Определяем угол ABC. \(\angle ABC = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ}\).

Ответ: 45°