1. Тип 7 № 12290 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите градусную меру угла ABC.

Решение:

Для нахождения градусной меры угла ABC необходимо определить координаты точек A, B и C. Предположим, что точка C находится в начале координат (0, 0).

Из рисунка видно, что:

• Точка A имеет координаты (1, 1).
• Точка B имеет координаты (2, 3).
• Точка C имеет координаты (1, 2).

Найдем векторы BA и BC:

• \( \vec{BA} = (1 - 2, 1 - 3) = (-1, -2) \)
• \( \vec{BC} = (1 - 2, 2 - 3) = (-1, -1) \)

Найдем косинус угла между векторами BA и BC по формуле:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} \]

Скалярное произведение \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} \):

\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = 1 + 2 = 3 \]

Длина вектора \( \vec{BA} \):

\[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

Длина вектора \( \vec{BC} \):

\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Теперь найдем косинус угла:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]

Найдем значение угла:

\[ \angle ABC = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \approx \arccos(0.9487) \approx 18.43^{\circ} \]

Ответ: Приблизительно 18.43°.