3. Тип 14 № 11103 Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 31°, ∠2 = 106°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Прямые m и n параллельны. Секущая пересекает их.

Угол \( \angle 1 = 31^{\circ} \). Угол, вертикальный к \( \angle 1 \), также равен 31°.

Угол \( \angle 2 = 106^{\circ} \).

Рассмотрим угол, смежный с \( \angle 2 \). Он равен \( 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются односторонними углами при параллельных прямых m и n и секущей. Их сумма должна быть равна 180°.

\( \angle 3 + 74^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle 3 = 180^{\circ} - 74^{\circ} \)

\( \angle 3 = 106^{\circ} \).

Давайте проверим другой подход, используя \( \angle 1 \).

Угол \( \angle 1 = 31^{\circ} \). Угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \) (если бы секущая проходила через \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) ), был бы равен 31°.

На рисунке \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) находятся на одной прямой.

Рассмотрим угол, который является соответственным к \( \angle 1 \). Этот угол будет находиться на прямой n, на той же стороне от секущей, что и \( \angle 1 \). Этот угол равен 31°.

Теперь посмотрим на \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \). Они образуют угол, который является внешним углом для некоторого треугольника, если бы мы продолжили линии.

Давайте представим, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются частью полного угла.

Пусть \( \alpha \) — угол, который находится между прямой n и секущей, и является внутренним односторонним с \( \angle 1 \). Тогда \( \alpha = 180^{\circ} - 31^{\circ} = 149^{\circ} \).

На рисунке \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) расположены рядом. Угол \( \angle 3 \) и угол \( \angle 2 \) вместе составляют угол, который находится между прямой n и секущей. Этот полный угол равен \( 180^{\circ} - 31^{\circ} = 149^{\circ} \) (как внутренние односторонние с \( \angle 1 \)).

\( \angle 3 + \angle 2 = 149^{\circ} \)

\( \angle 3 + 106^{\circ} = 149^{\circ} \)

\( \angle 3 = 149^{\circ} - 106^{\circ} \)

\( \angle 3 = 43^{\circ} \).

Давайте перепроверим. Если \( \angle 1 = 31^{\circ} \), то соответственный ему угол на прямой n равен 31°. Угол, смежный с этим, равен \( 180^{\circ} - 31^{\circ} = 149^{\circ} \). Этот угол \( 149^{\circ} \) состоит из \( \angle 3 \) и \( \angle 2 \).

\( \angle 3 + \angle 2 = 149^{\circ} \)

\( \angle 3 + 106^{\circ} = 149^{\circ} \)

\( \angle 3 = 149^{\circ} - 106^{\circ} = 43^{\circ} \).

Ответ: 43°.