3. Тип 14 № 11101 Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 111°, ∠2 = 18°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Прямые m и n параллельны. Линия, пересекающая параллельные прямые, называется секущей.

Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \), являются соответственными углами при параллельных прямых m и n и секущей. Соответственные углы равны.

Угол \( \angle 1 = 111^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 18^{\circ} \).

Угол, смежный с \( \angle 3 \), равен \( 180^{\circ} - \angle 3 \).

Угол \( \angle 1 \) и угол \( \angle 3 \) не являются ни накрест лежащими, ни соответственными, ни односторонними.

Рассмотрим угол, накрест лежащий с \( \angle 1 \). Он равен \( 111^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 \) и угол \( \angle 3 \) находятся на одной прямой, но не являются смежными.

Давайте переобозначим углы для ясности. Пусть угол, смежный с \( \angle 1 \) и находящийся между параллельными прямыми, будет \( \angle 4 \). Тогда \( \angle 4 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \).

Теперь \( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) являются односторонними углами при параллельных прямых m и n и секущей. Сумма односторонних углов равна 180°.

\( \angle 4 + \angle 3 = 180^{\circ} \)

\( 69^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \)

\( \angle 3 = 180^{\circ} - 69^{\circ} \)

\( \angle 3 = 111^{\circ} \).

Однако, на рисунке \( \angle 2 \) также участвует в построении. Давайте рассмотрим другой подход.

Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \), являются накрест лежащими. Угол, смежный с \( \angle 2 \), равен \( 180^{\circ} - 18^{\circ} = 162^{\circ} \). Это неверно, так как \( \angle 1 \) острый.

Рассмотрим угол \( \angle 1 \). Его смежный угол равен \( 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \). Этот угол и \( \angle 3 \) являются односторонними.

\( 69^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \) → \( \angle 3 = 111^{\circ} \). Это не совпадает с изображением.

Давайте предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) - это части углов.

Пусть \( \alpha \) - угол между секущей и прямой m. \( \angle 1 = 111^{\circ} \). Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \). Этот угол является соответственным углом для угла, образуемого секущей и прямой n, который лежит между параллельными прямыми. Назовем этот угол \( \angle 4 \). \( \angle 4 = 69^{\circ} \).

Теперь рассмотрим \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \). Угол \( \angle 2 = 18^{\circ} \). Угол \( \angle 3 \) находится на прямой n.

На рисунке видно, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) являются частями одного большого угла, образованного секущей и прямой n.

Пусть \( \alpha \) - угол, который образует секущая с прямой m, и он равен \( 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \). Этот угол соответствует углу между секущей и прямой n, который находится между параллельными прямыми. Назовем этот угол \( \alpha' \). \( \alpha' = 69^{\circ} \).

На рисунке \( \angle 3 \) является частью угла \( \alpha' \). Угол \( \alpha' \) состоит из \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \).

\( \alpha' = \angle 2 + \angle 3 \)

\( 69^{\circ} = 18^{\circ} + \angle 3 \)

\( \angle 3 = 69^{\circ} - 18^{\circ} \)

\( \angle 3 = 51^{\circ} \).

Ответ: 51°.