1. Тип 7 № 2478 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите высоту, проведённую из вершины А к стороне ВС.

Решение:

Для нахождения высоты, проведённой из вершины А к стороне ВС, необходимо определить координаты точек А, В и С, а также длину стороны ВС.

Пусть точка C находится в начале координат (0, 0).

Из рисунка видно, что:

• Точка A имеет координаты (2, 3).
• Точка B имеет координаты (1, 1).
• Точка C имеет координаты (4, 0).

Найдем длину стороны ВС. Координаты точек B(1, 1) и C(4, 0).

\[ BC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Найдем уравнение прямой ВС. Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), имеет вид:

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Для точек B(1, 1) и C(4, 0):

\[ \frac{x - 1}{4 - 1} = \frac{y - 1}{0 - 1} \]

\[ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{-1} \]

\[ -1(x - 1) = 3(y - 1) \]

\[ -x + 1 = 3y - 3 \]

\[ x + 3y - 4 = 0 \]

Теперь найдем длину высоты \( h_a \) из точки A(2, 3) к прямой \( x + 3y - 4 = 0 \). Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) равна:

\[ h_a = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Здесь \( A=1, B=3, C=-4, x_0=2, y_0=3 \).

\[ h_a = \frac{|1 \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|2 + 9 - 4|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|7|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}} \]

Для того чтобы представить ответ в более привычном виде, можно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \):

\[ h_a = \frac{7 \sqrt{10}}{10} \]

Приблизительное значение:

\[ h_a \approx \frac{7 \cdot 3.162}{10} \approx 2.213 \]

Ответ: \( \frac{7}{\sqrt{10}} \) (или \( \frac{7\sqrt{10}}{10} \) ) или приблизительно 2.21.