4. Тип 16 № 1336 Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Если угол ВМС равен 140°, найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть \( BD \) и \( CE \) — высоты, проведённые к боковым сторонам \( AC \) и \( AB \) соответственно, в равнобедренном треугольнике \( ABC \) ( \( AB = AC \) ). Они пересекаются в точке \( M \).

В равнобедренном треугольнике ABC, \( AB = AC \). Углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB \).

Высоты \( BD \) и \( CE \) перпендикулярны сторонам \( AC \) и \( AB \) соответственно:

• \( BD \perp AC \)
• \( CE \perp AB \)

Рассмотрим четырёхугольник \( ADME \), где \( D \) — точка на \( AC \), \( E \) — точка на \( AB \).

Углы \( \angle ADB = 90^{\circ} \) и \( \angle AEC = 90^{\circ} \).

В четырёхугольнике \( ADME \), сумма углов равна \( 360^{\circ} \).

\[ \angle DAE + \angle ADB + \angle BME + \angle AEC = 360^{\circ} \]

\[ \angle BAC + 90^{\circ} + \angle BME + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle BAC + \angle BME = 180^{\circ} \]

Нам дан угол \( \angle BМС = 140^{\circ} \). Точка \( M \) — точка пересечения высот. \( \angle BME \) является смежным с \( \angle BMC \) или вертикальным с частью \( \angle BMC \). Посмотрим на рисунок, \( M \) — точка пересечения высот. \( \angle BMC \) — это угол, который нам дан.

В четырёхугольнике \( BDEC \), углы \( \angle BDC \) и \( \angle BEC \) не являются прямыми.

Рассмотрим четырёхугольник \( ADME \). У \( \angle ADB = 90^{\circ} \) и \( \angle AEC = 90^{\circ} \). Угол \( \angle BAC \) — угол при вершине A. Угол \( \angle DME \) — угол, вертикальный к \( \angle BMC \) или являющийся частью \( \angle BMC \).

Правильное соотношение для четырёхугольника, образованного пересечением высот:

\[ \angle BMC = 180^{\circ} - \angle BAC \]

Подставим данное значение \( \angle BMC = 140^{\circ} \):

\[ 140^{\circ} = 180^{\circ} - \angle BAC \]

\[ \angle BAC = 180^{\circ} - 140^{\circ} \]

\[ \angle BAC = 40^{\circ} \]

Теперь, когда мы нашли угол при вершине \( A \), мы можем найти углы при основании равнобедренного треугольника \( ABC \).

\( \angle ABC = \angle ACB \)

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \]

\[ 40^{\circ} + 2 \cdot \angle ABC = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle ABC = 140^{\circ} \]

\[ \angle ABC = \frac{140^{\circ}}{2} \]

\[ \angle ABC = 70^{\circ} \]

Таким образом, \( \angle ACB = 70^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 40°, 70°, 70°.