4. Тип 16 № 9681 Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 24°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть \( \angle ABC = 24^{\circ} \).

Пусть \( BD \) — биссектриса внешнего угла при вершине B. Внешний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ} \).

Так как \( BD \) — биссектриса, то она делит внешний угол пополам:

\[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{156^{\circ}}{2} = 78^{\circ} \]

По условию, биссектриса внешнего угла \( BD \) параллельна стороне \( AC \), то есть \( BD \parallel AC \).

Рассмотрим углы, образованные секущей BC и параллельными прямыми BD и AC:

\[ \angle DBC = \angle BCA \text{ (как накрест лежащие при параллельных прямых)} \]

Значит, \( \angle BCA = 78^{\circ} \).

Теперь рассмотрим углы треугольника ABC:

\[ \angle ABC = 24^{\circ} \]

\[ \angle BCA = 78^{\circ} \]

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[ \angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \]

\[ \angle CAB + 24^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle CAB + 102^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle CAB = 180^{\circ} - 102^{\circ} \]

\[ \angle CAB = 78^{\circ} \]

Ответ: 78°.