1. Точка N — середина стороны AB параллелограмма ABCD, а NC = ND. Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Пусть O — середина AB, то есть O = N. Обозначим через P точку пересечения диагоналей параллелограмма.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому P — середина и AC, и BD.
2. В треугольнике NCD отрезок NP соединяет середины сторон CD и AB? Удобнее рассмотреть координаты: зададим N=(0,0), A=(-a,0), B=(a,0). Пусть D=(x,y); тогда C=(x+2a,y).
3. Из условия NC=ND получаем (x+2a)²+y²=x²+y², откуда x=-a.
4. Тогда AD=(0,y), а AB=(2a,0), значит AB перпендикулярна AD. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: ABCD — прямоугольник.