8. Окружности с центрами в точках O и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Диаметры этих окружностей относятся как k : l. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении k : l.

Пусть внутренняя общая касательная пересекает OQ в точке X, а радиусы окружностей равны r и R. Центры находятся по разные стороны касательной, и их расстояния до неё равны r и R.

1. Расстояние до касательной меняется линейно вдоль OQ и обращается в ноль в точке X.
2. Из подобия прямоугольных треугольников следует OX:XQ=r:R.
3. Отношение радиусов равно отношению диаметров, то есть r:R=k:l.

Ответ: OX:XQ=k:l.