2. Точка N — середина стороны BC ромба ABCD, а AN = DN. Докажите, что ромб ABCD является квадратом.

Зададим координаты: B=(0,0), C=(2a,0), поэтому N=(a,0). Пусть A=(x,y). В параллелограмме D=A+C-B=(x+2a,y).

1. По условию AN=DN, поэтому (x-a)²+y²=(x+a)²+y².
2. Раскрывая скобки, получаем x=0. Следовательно, AB=(0,y), а BC=(2a,0), и AB перпендикулярна BC.
3. Ромб с прямым углом является квадратом.

Ответ: ABCD — квадрат.