7. Окружности с центрами в точках O и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Диаметры этих окружностей относятся как m : n. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m : n.

Пусть внутренняя общая касательная пересекает OQ в точке X, а радиусы окружностей равны r и R. Тогда расстояния от O и Q до касательной равны соответственно r и R, причём центры лежат по разные стороны касательной.

1. Расстояние до фиксированной прямой изменяется линейно вдоль отрезка OQ.
2. В точке O это расстояние равно r, в точке Q — R, а в точке X оно равно нулю. По подобию соответствующих прямоугольных треугольников OX:XQ=r:R.
3. Отношение радиусов равно отношению диаметров, поэтому r:R=m:n.

Ответ: OX:XQ=m:n.