9. Сторона LM параллелограмма KLMN вдвое больше стороны KL. Точка P — середина стороны KN. Докажите, что LP — биссектриса угла KLM.

Пусть KL=a. В параллелограмме KN=LM=2a. Обозначим векторы из точки L вдоль LK и LM единичными векторами u и v соответственно.

1. Точка N получается из L прибавлением векторов LK и LM. Так как P — середина KN, вектор LP равен половине суммы векторов LK и LM.
2. Следовательно, LP=(a/2)(u+2v), что при выборе направлений из L к K и из L к M даёт направление суммы единичных векторов этих сторон: LP∥(u+v).
3. Направление суммы единичных векторов двух сторон угла является направлением его внутренней биссектрисы.

Ответ: LP — биссектриса угла KLM.