1°. В четырёхугольнике ABCD AB = CD, BC = AD, ∠A = 30°. На стороне BC взята точка E так, что ∠CDE = 60°. Докажите, что четырёхугольник ABED является прямоугольной трапецией.

1. Так как в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны, ABCD — параллелограмм. Поэтому AB ∥ CD и AD ∥ BC.
2. Из параллельности AB и CD следует, что угол между DC и CB равен ∠A = 30°. Поскольку E лежит на BC, ∠DCE = 30°.
3. В треугольнике CDE: ∠CED = 180° − 30° − 60° = 90°. Значит, DE ⟂ CE, а поскольку CE лежит на BC, DE ⟂ BC.
4. Из AD ∥ BC следует DE ⟂ AD. Кроме того, BE лежит на BC, поэтому BE ∥ AD. У четырёхугольника ABED одна пара противоположных сторон параллельна, а один угол прямой.

Ответ: ABED — прямоугольная трапеция.